Diferenças entre edições de "Gregos"

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Em Finanças, os '''Gregos''' são as variáveis que representam a sensibilidade de [[Derivado]]s (tais como [[Opção|opções]]) a variações do subjacente. Cada "Grego" mede um aspecto diferente do risco de uma opção, e corresponde a um parâmetro do qual depende o valor de um instrumento financeiro ou conjunto de instrumentos financeiros. O nome "Grego" é usado porque estes parâmetros são geralmente representados nas equações usando letras gregas.
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Em Finanças, os '''Gregos''' são as variáveis que representam a sensibilidade de [[Derivado]]s (tais como [[opções]]) a variações do subjacente. Cada "Grego" mede um aspecto diferente do risco de uma opção, e corresponde a um parâmetro do qual depende o valor de um instrumento financeiro ou conjunto de instrumentos financeiros. O nome "Grego" é usado porque estes parâmetros são geralmente representados nas equações usando letras gregas.
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==Uso==
 
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*O [['''Delta''']] mede a sensibilidade a variações da cotação do activo [[subjacente]].  O '''<tex>\Delta</tex>''' de um instrumento é a derivada do valor da opção <tex>V</tex> relativa à cotação do subjacente, <tex>\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}</tex>.
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*O '''[[Delta]]''' mede a sensibilidade a variações da cotação do activo [[subjacente]].  O '''<tex>\Delta</tex>''' de um instrumento é a derivada do valor da opção <tex>V</tex> relativa à cotação do subjacente, <tex>\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}</tex>.
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*The [[gamma (letter)|'''gamma''']] measures the rate of change in the delta. The '''<tex>\Gamma</tex>''' is the second [[derivative]] of the value function with respect to the underlying price, <tex>\Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}</tex>.  Gamma is important because it indicates how a portfolio will react to relatively large shifts in price.
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*The '''vega''', which is not a Greek letter (<tex>\nu</tex>, ''nu'' is used instead), measures sensitivity to [[volatility (finance)|volatility]]. The vega is the derivative of the option value with respect to the [[volatility (finance)|volatility]] of the underlying, <tex>\nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}</tex>. The term '''kappa''', <tex>\kappa</tex>, is sometimes used instead of '''vega''', some math finance training materials sometimes mistakenly use the term '''tau''', <tex>\tau</tex>.
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*The '''speed''' measures third order sensitivity to price. The '''speed''' is the third [[derivative]] of the value function with respect to the underlying price, <tex>\frac{\partial^3 V}{\partial S^3}</tex>.
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*O '''[[Gamma]]''' mede o ritmo de mudança do Delta. O '''<tex>\Gamma</tex>''' é a segunda derivada da função valor da opção relativamente à cotação do subjacente, <tex>\Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}</tex>.  O Gamma é importante pois indica como reagirá o portfolio a mudanças relativamente grandes nas cotações do subjacente.
  
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*O '''[[Vega]]''', que não é uma letra Grega (<tex>\nu</tex>), mede a sensibilidade à [[volatilidade]]. O Vega é a derivada do valor da opção em relação à volatilidade do subjacente, <tex>\nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}</tex>. Por vezes usa-se o termo '''kappa''', <tex>\kappa</tex> em vez de '''Vega'''.
  
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*The [[theta (letter)|'''theta''']] measures sensitivity to the passage of time (see [[Option time value]]). '''<tex>\Theta</tex>''' is the negative of the derivative of the option value with respect to the amount of time to expiry of the option, <tex>\Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}</tex>.
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*O '''[[Theta]]''' mede a sensibilidade à passagem do tempo (ver [[Valor temporal]]). '''<tex>\Theta</tex>''' é o valor da derivada do valor da opção relativamente ao tempo em falta para a maturidade da opção, com sinal negativo, <tex>\Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}</tex>.
  
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*The [[rho (letter)|'''rho''']] measures sensitivity to the applicable interest rate. The '''<tex>\rho</tex>''' is the derivative of the option value with respect to the risk free rate, <tex>\rho = \frac{\partial V}{\partial r}</tex>.
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*O '''[[Rho]]''' mede a sensibilidade face a variações da [[taxa de juro]] aplicável. O '''<tex>\rho</tex>''' é a derivada do valor da opção relativa à [[taxa de juro sem risco]], <tex>\rho = \frac{\partial V}{\partial r}</tex>.
  
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*Less commonly used:
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*Menos frequentemente usados:
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**The [[lambda (letter)|'''lambda''']] '''<tex>\lambda</tex>''' is the [[percentage]] change in option value per change in the underlying price, or <tex>\lambda = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{1}{V}</tex>. It is the [[logarithmic derivative]].
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**O '''[[Lambda]]''' '''<tex>\lambda</tex>''' é a variação percentual do valor da opção pela variação da cotação do subjacente, ou <tex>\lambda = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{1}{V}</tex>. É a derivada logarítmica.
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**The '''vega gamma''' or '''volga''' measures second order sensitivity to [[implied volatility]]. This is the second derivative of the option value with respect to the volatility of the underlying, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}</tex>.
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**O '''Vega Gamma''' ou '''Volga''' mede a sensibilidade de segunda ordem à [[volatilidade implícita]]. Esta é a segunda derivada do valor da opção relativamente à volatilidade do subjacente, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}</tex>.
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**The '''vanna''' measures cross-sensitivity of the option value with respect to change in the underlying price and the volatility, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \sigma}</tex>, which can also be interpreted as the sensitivity of '''delta''' to a unit change in '''volatility'''.
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**O '''Vanna''' mede a sensibilidade cruzada do valor da opção relativamente a mudanças na cotação e na volatilidade, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \sigma}</tex>, também se pode interpretar como a sensibilidade do '''Delta''' a uma unidade de variação na '''volatilidade'''.
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**The '''delta decay''', or '''charm''', measures the time decay of delta, <tex>\frac{\partial \Delta}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial T}</tex>. This can be important when hedging a position over a weekend.
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**A '''Desvalorização temporal''' ("Time decay"), ou '''Charm''', mede a desvalorização temporal do Delta, <tex>\frac{\partial \Delta}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial T}</tex>. Isto pode ser importante para estabelecer um hedge ao longo do tempo.
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**The '''color''' measures the sensitivity of the '''charm''', or '''delta decay''' to the underlying asset price, <tex>\frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \partial T}</tex>. It is the third derivative of the option value, twice to underlying asset price and once to time.
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**A '''Cor''' ("Color") mede a sensibilidade do '''Charm''', ou '''Delta decay''' à cotação do activo subjacente, <tex>\frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \partial T}</tex>. E a terceira derivada do valor da opção, duas vezes relativamente à cotação do activo subjacente e uma em relação ao tempo.
  
 
==Black-Scholes==
 
==Black-Scholes==
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The Greeks under the [[Black-Scholes model]] are calculated as follows, where <tex>\phi</tex> (phi) is the [[standard normal]] [[probability density function]] and <tex>\Phi</tex> is the [[standard normal]] [[cumulative distribution function]]. Note that the gamma and vega formulas are the same for [[call option|calls]] and [[put option|puts]].
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Os Gregos no modelo [[Black-Scholes]] são calculados da forma seguinte, com <tex>\phi</tex> (phi) a ser a função de densidade de uma [[distribuição normal]] e <tex>\Phi</tex> a ser a [[função cumulativa]] de uma distribuição normal. Note-se que as fórmulas para o Gamma e Vega são iguais tanto para [[Call]]s como [[put]]s.
  
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For a given:
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Para:
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Stock Price <tex> S \, </tex>,
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*[[Cotação]] <tex> S \, </tex>,
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Strike Price <tex> K \, </tex>,
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*[[Strike]] (preço de exercício)<tex> K \, </tex>,
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Risk-Free Rate <tex> r \, </tex>,
+
*[[Taxa de juro sem risco]] <tex> r \, </tex>,
−
Annual Dividend Yield <tex> q \, </tex>,
+
*[[Dividend yield]] anual <tex> q \, </tex>,
−
Time to Maturity, <tex> \tau = T-t \, </tex>, and
+
*Tempo para a [[maturidade]] , <tex> \tau = T-t \, </tex>, e
−
Volatility <tex> \sigma \, </tex>...
+
*[[Volatilidade]] <tex> \sigma \, </tex>...
  
 
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! !! Calls !! Puts
 
! !! Calls !! Puts
 
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! price || <tex> e^{-q \tau} S\Phi(d_1) - e^{-r \tau} K\Phi(d_2) \, </tex> || <tex> e^{-r \tau} K\Phi(-d_2) - e^{-q \tau} S\Phi(-d_1)  \, </tex>
+
! Cotação || <tex> e^{-q \tau} S\Phi(d_1) - e^{-r \tau} K\Phi(d_2) \, </tex> || <tex> e^{-r \tau} K\Phi(-d_2) - e^{-q \tau} S\Phi(-d_1)  \, </tex>
 
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! delta || <tex> e^{-q \tau} \Phi(d_1) \, </tex> || <tex> -e^{-q \tau} \Phi(-d_1) \, </tex>
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! Delta || <tex> e^{-q \tau} \Phi(d_1) \, </tex> || <tex> -e^{-q \tau} \Phi(-d_1) \, </tex>
 
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! gamma ||colspan="2"| <tex> e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \, </tex>
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! Gamma ||colspan="2"| <tex> e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \, </tex>
 
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! vega ||colspan="2"| <tex> Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \, </tex>
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! Vega ||colspan="2"| <tex> Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \, </tex>
 
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! theta || <tex> -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \, </tex> || <tex> -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1) \, </tex>
+
! Theta || <tex> -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \, </tex> || <tex> -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1) \, </tex>
 
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! rho || <tex> K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\, </tex> || <tex> -K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \, </tex>  
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! Rho || <tex> K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\, </tex> || <tex> -K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \, </tex>  
 
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! volga ||colspan="2"| <tex> Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \nu  \frac{d_1 d_2}{\sigma} \, </tex>
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! Volga ||colspan="2"| <tex> Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \nu  \frac{d_1 d_2}{\sigma} \, </tex>
 
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! vanna ||colspan="2"| <tex> -e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\nu}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\, </tex>  
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! Vanna ||colspan="2"| <tex> -e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\nu}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\, </tex>  
 
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! charm || <tex> -qe^{-q \tau} \Phi(d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, </tex> || <tex> qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, </tex>
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! Charm || <tex> -qe^{-q \tau} \Phi(d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, </tex> || <tex> qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, </tex>
 
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! color ||colspan="2"| <tex> -e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \, </tex>  
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! Color ||colspan="2"| <tex> -e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \, </tex>  
 
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! dual delta || <tex> -e^{-r \tau} \Phi(d_2) \, </tex> || <tex> e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \, </tex>
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! Dual delta || <tex> -e^{-r \tau} \Phi(d_2) \, </tex> || <tex> e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \, </tex>
 
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! dual gamma ||colspan="2"| <tex> e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \, </tex>
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! Dual gamma ||colspan="2"| <tex> e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \, </tex>
 
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:<tex> d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} </tex>
 
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[[Categoria:Derivados]]

Edição atual desde as 18h21min de 2 de abril de 2008

Em Finanças, os Gregos são as variáveis que representam a sensibilidade de Derivados (tais como opções) a variações do subjacente. Cada "Grego" mede um aspecto diferente do risco de uma opção, e corresponde a um parâmetro do qual depende o valor de um instrumento financeiro ou conjunto de instrumentos financeiros. O nome "Grego" é usado porque estes parâmetros são geralmente representados nas equações usando letras gregas.

Uso

Os Gregos são ferramentas essenciais na gestão de risco. Cada Grego (com a excepção do theta= representa uma medida específica de risco de uma opção ou portfolio de opções, e pode ser ajustado ("Hedged") de forma a se obter a exposição desejada. Ver por exemplo Delta hedging.

Uma propriedade desejável de um modelo de avaliação de derivados é assim que ele permita o cálculo fácil dos Gregos. Os Gregos no modelo Black-Scholes são bastante fáceis de calcular, e essa é uma das razões da popularidade desse modelo no mercado.

Os Gregos

  • O Delta mede a sensibilidade a variações da cotação do activo subjacente. O \Delta de um instrumento é a derivada do valor da opção V relativa à cotação do subjacente, \Delta = \frac{\partial V}{\partial S}.
  • O Gamma mede o ritmo de mudança do Delta. O \Gamma é a segunda derivada da função valor da opção relativamente à cotação do subjacente, \Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}. O Gamma é importante pois indica como reagirá o portfolio a mudanças relativamente grandes nas cotações do subjacente.
  • O Vega, que não é uma letra Grega (\nu), mede a sensibilidade à volatilidade. O Vega é a derivada do valor da opção em relação à volatilidade do subjacente, \nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}. Por vezes usa-se o termo kappa, \kappa em vez de Vega.
  • O Theta mede a sensibilidade à passagem do tempo (ver Valor temporal). \Theta é o valor da derivada do valor da opção relativamente ao tempo em falta para a maturidade da opção, com sinal negativo, \Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}.
  • Menos frequentemente usados:
    • O Lambda \lambda é a variação percentual do valor da opção pela variação da cotação do subjacente, ou \lambda = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{1}{V}. É a derivada logarítmica.
    • O Vega Gamma ou Volga mede a sensibilidade de segunda ordem à volatilidade implícita. Esta é a segunda derivada do valor da opção relativamente à volatilidade do subjacente, \frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}.
    • O Vanna mede a sensibilidade cruzada do valor da opção relativamente a mudanças na cotação e na volatilidade, \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \sigma}, também se pode interpretar como a sensibilidade do Delta a uma unidade de variação na volatilidade.
    • A Desvalorização temporal ("Time decay"), ou Charm, mede a desvalorização temporal do Delta, \frac{\partial \Delta}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial T}. Isto pode ser importante para estabelecer um hedge ao longo do tempo.
    • A Cor ("Color") mede a sensibilidade do Charm, ou Delta decay à cotação do activo subjacente, \frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \partial T}. E a terceira derivada do valor da opção, duas vezes relativamente à cotação do activo subjacente e uma em relação ao tempo.

Black-Scholes

Os Gregos no modelo Black-Scholes são calculados da forma seguinte, com \phi (phi) a ser a função de densidade de uma distribuição normal e \Phi a ser a função cumulativa de uma distribuição normal. Note-se que as fórmulas para o Gamma e Vega são iguais tanto para Calls como puts.

Para:

Calls Puts
Cotação e^{-q \tau} S\Phi(d_1) - e^{-r \tau} K\Phi(d_2) \, e^{-r \tau} K\Phi(-d_2) - e^{-q \tau} S\Phi(-d_1) \,
Delta e^{-q \tau} \Phi(d_1) \, -e^{-q \tau} \Phi(-d_1) \,
Gamma e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \,
Vega Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \,
Theta -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \, -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1) \,
Rho K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\, -K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \,
Volga Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \nu \frac{d_1 d_2}{\sigma} \,
Vanna -e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\nu}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\,
Charm -qe^{-q \tau} \Phi(d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \,
Color -e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \,
Dual delta -e^{-r \tau} \Phi(d_2) \, e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \,
Dual gamma e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \,

Onde

d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}
d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - q - \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}
\phi(x) = \frac{e^{- \frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}}
\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy = \int_{-x}^{\infty} \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy

Ver também

Links relevantes

Discussão
Cálculos
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