Gregos

De Thinkfn

Em Finanças, os Gregos são as variáveis que representam a sensibilidade de Derivados (tais como opções) a variações do subjacente. Cada "Grego" mede um aspecto diferente do risco de uma opção, e corresponde a um parâmetro do qual depende o valor de um instrumento financeiro ou conjunto de instrumentos financeiros. O nome "Grego" é usado porque estes parâmetros são geralmente representados nas equações usando letras gregas.

Uso

Os Gregos são ferramentas essenciais na gestão de risco. Cada Grego (com a excepção do theta= representa uma medida específica de risco de uma opção ou portfolio de opções, e pode ser ajustado ("Hedged") de forma a se obter a exposição desejada. Ver por exemplo Delta hedging.

Uma propriedade desejável de um modelo de avaliação de derivados é assim que ele permita o cálculo fácil dos Gregos. Os Gregos no modelo Black-Scholes são bastante fáceis de calcular, e essa é uma das razões da popularidade desse modelo no mercado.

Os Gregos

O Delta mede a sensibilidade a variações da cotação do activo subjacente. O $\Delta$ de um instrumento é a derivada do valor da opção $V$ relativa à cotação do subjacente, $\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}$ .

O Gamma mede o ritmo de mudança do Delta. O $\Gamma$ é a segunda derivada da função valor da opção relativamente à cotação do subjacente, $\Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}$ . O Gamma é importante pois indica como reagirá o portfolio a mudanças relativamente grandes nas cotações do subjacente.

O Vega, que não é uma letra Grega ( $\nu$ ), mede a sensibilidade à volatilidade. O Vega é a derivada do valor da opção em relação à volatilidade do subjacente, $\nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}$ . Por vezes usa-se o termo kappa, $\kappa$ em vez de Vega.

O Theta mede a sensibilidade à passagem do tempo (ver Valor temporal). $\Theta$ é o valor da derivada do valor da opção relativamente ao tempo em falta para a maturidade da opção, com sinal negativo, $\Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}$ .

O Rho mede a sensibilidade face a variações da taxa de juro aplicável. O $\rho$ é a derivada do valor da opção relativa à taxa de juro sem risco, $\rho = \frac{\partial V}{\partial r}$ .

Menos frequentemente usados:
- O Lambda $\lambda$ é a variação percentual do valor da opção pela variação da cotação do subjacente, ou $\lambda = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{1}{V}$ . É a derivada logarítmica.
- O Vega Gamma ou Volga mede a sensibilidade de segunda ordem à volatilidade implícita. Esta é a segunda derivada do valor da opção relativamente à volatilidade do subjacente, $\frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}$ .
- O Vanna mede a sensibilidade cruzada do valor da opção relativamente a mudanças na cotação e na volatilidade, $\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \sigma}$ , também se pode interpretar como a sensibilidade do Delta a uma unidade de variação na volatilidade.
- A Desvalorização temporal ("Time decay"), ou Charm, mede a desvalorização temporal do Delta, $\frac{\partial \Delta}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial T}$ . Isto pode ser importante para estabelecer um hedge ao longo do tempo.
- A Cor ("Color") mede a sensibilidade do Charm, ou Delta decay à cotação do activo subjacente, $\frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \partial T}$ . E a terceira derivada do valor da opção, duas vezes relativamente à cotação do activo subjacente e uma em relação ao tempo.

Black-Scholes

Os Gregos no modelo Black-Scholes são calculados da forma seguinte, com $\phi$ (phi) a ser a função de densidade de uma distribuição normal e $\Phi$ a ser a função cumulativa de uma distribuição normal. Note-se que as fórmulas para o Gamma e Vega são iguais tanto para Calls como puts.

Para:

Cotação $S \,$ ,
Strike (preço de exercício) $K \,$ ,
Taxa de juro sem risco $r \,$ ,
Dividend yield anual $q \,$ ,
Tempo para a maturidade , $\tau = T-t \,$ , e
Volatilidade $\sigma \,$ ...

	Calls	Puts
Cotação	$e^{-q \tau} S\Phi(d_1) - e^{-r \tau} K\Phi(d_2) \,$	$e^{-r \tau} K\Phi(-d_2) - e^{-q \tau} S\Phi(-d_1) \,$
Delta	$e^{-q \tau} \Phi(d_1) \,$	$-e^{-q \tau} \Phi(-d_1) \,$
Gamma	$e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \,$
Vega	$Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \,$
Theta	$-e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \,$	$-e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1) \,$
Rho	$K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\,$	$-K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \,$
Volga	$Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \nu \frac{d_1 d_2}{\sigma} \,$
Vanna	$-e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\nu}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\,$
Charm	$-qe^{-q \tau} \Phi(d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \,$	$qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \,$
Color	$-e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \,$
Dual delta	$-e^{-r \tau} \Phi(d_2) \,$	$e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \,$
Dual gamma	$e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \,$