Progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante . O número é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r' de resto.

Exemplos

Alguns exemplos de progressão aritmética:

• , onde .

• , onde .

• , onde .

Existem três tipos de progressão aritmética: crescente (), constante () e decrescente ().

Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética

A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

Explicação

• O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante

• O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

, portanto:

• O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

, portanto:

• Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma de todos os termos de uma progressão aritmética não infinita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A soma dos termos entre e é:

Diz a lenda que Gauss apercebeu-se desta fórmula na escola primária e utilizou-a para calcular imediatamente a soma dos números inteiros de 1 a 100. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor [1].

Prova da fórmula

Expresse a p.a. de duas maneiras:

Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo r se cancelam, e então ficamos com:

Rearranjando e se lembrando que , nós temos:

.

Interpolação Aritmética

É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão aritmética constante:

• P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0
• P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre positiva e diferente de zero.

Exemplos de progressão aritmética crescente:

• P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2
• P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

Progressão aritmética decrescente

Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre negativa e diferente de zero.

Exemplos de progressão aritmética decrescente:

• P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2
• P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

Ver também

• Progressão geométrica

Esta página usa conteúdo da Wikipedia. O artigo original estava em Progressão aritmética. Tal como o Think Finance neste artigo, o texto da Wikipedia está disponível segundo a GNU Free Documentation License.