Mostrar código-fonte de Progressão aritmética

Uma '''progressão aritmética''' é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante <tex>r\,\!</tex>. O número <tex>r\,\!</tex> é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do 'r' de resto.

==Exemplos==
Alguns exemplos de progressão aritmética:


*<tex>P.a.(1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,...)\,\!</tex>, onde <tex>r=3\,\!</tex>.


*<tex>P.a.(-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,...)\,\!</tex>, onde <tex>r=-2\,\!</tex>.


*<tex>P.a.(6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,6,...)\,\!</tex>, onde <tex>r=0\,\!</tex>.


Existem três tipos de progressão aritmética: crescente (<tex>r>0\,\!</tex>), constante (<tex>r=0\,\!</tex>) e decrescente (<tex>r<0\,\!</tex>).

===Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética===
A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:


<tex>a_n=a_1+(n-1).r\,\!</tex>


;Explicação

*O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante

*O valor do segundo termo é igual ao primeiro  mais a constante:


<tex>a_2=a_1+r\,\!</tex>


*O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:


<tex>a_3=a_2+r\,\!</tex> 


<tex>a_2=a_1+r\,\!</tex>, portanto:


<tex>a_3=(a_1+r)+r\,\!</tex>


<tex>a_3=a_1+2r\,\!</tex>


*O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:


<tex>a_4=a_3+r\,\!</tex>


<tex>a_3=a_1+2r\,\!</tex>, portanto:


<tex>a_4=(a_1+2r)+r\,\!</tex>


<tex>a_4=a_1+3r\,\!</tex>


*Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:


<tex>a_n=a_1+(n-1).r\,\!</tex>


Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:


<tex>a_n = a_m + (n-m).r\,\!</tex>


==Soma dos termos de uma progressão aritmética==
A soma de todos os termos de uma progressão aritmética não infinita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:


<tex>S_n=\frac{n.(a_1+a_n)}{2},\!</tex>


A soma dos termos entre <tex>a_p\,\!</tex> e <tex>a_q\,\!</tex> é:


<tex>S_{(p,q)}=\frac{(q-p+1).(a_p+a_q)}2\,\!</tex>


Diz a lenda que Gauss apercebeu-se desta fórmula na escola primária e utilizou-a para calcular imediatamente a soma dos números inteiros de 1 a 100.  Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado a tarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando os outros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar o professor [http://www.sigmaxi.org/amscionline/gauss-snippets.html].

==Prova da fórmula==
[[Imagem:Progresión aritmética-suma de términos-.png|thumb|250px|A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles.]]
Expresse a p.a. de duas maneiras:


<tex> S_n=a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+\dots\dots+(a_1+(n-2)r)+(a_1+(n-1)r)</tex>


<tex> S_n=(a_n-(n-1)r)+(a_n-(n-2)r)+\dots\dots+(a_n-2r)+(a_n-r)+a_n</tex>


Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo ''r'' se cancelam, e então ficamos com:


<tex>\ 2S_n=n(a_1+a_n)</tex>


Rearranjando e se lembrando que <tex>a_n = a_1 + (n-1)r</tex>, nós temos:


<tex> S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)r]}{2}</tex>.


==Interpolação Aritmética==
É a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. A fórmula utilizada é:


<tex>a_n=a_k+(n-k).r\,\!</tex>


==Tipos de progressões aritméticas==
===Progressão aritmética constante===
Uma '''progressão aritmética constante''' é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão ''r'' tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão aritmética constante:
*'''P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...)''' - razão ''r = 0''
*'''P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...)''' - razão ''r = 0''

===Progressão aritmética crescente===
Uma '''progressão aritmética crescente''' é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão ''r'' tem que ser sempre positiva e diferente de zero.

Exemplos de progressão aritmética crescente:
*'''P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...)''' - razão ''r = 2''
*'''P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...)''' - razão ''r = 3''

===Progressão aritmética decrescente===   
Uma '''progressão aritmética decrescente''' é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão ''r'' tem que ser sempre negativa e diferente de zero.   
   
Exemplos de progressão aritmética decrescente:   
*'''P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...)''' - razão ''r = -2''   
*'''P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...)''' - razão ''r = -3'' 


==Ver também==
*[[Progressão geométrica]]



{{Wikipedia|Progressão aritmética}}

[[Categoria:Estatística]]