Diferenças entre edições de "Função distribuição acumulada"
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Note-se que na definição acima, o sinal "menor ou igual", '≤' poderia ser substituido por "menor" '<'. Isto produziria uma função diferente mas qualquer uma das funções pode ser facilmente deduzida a partir da outra. Também se poderia mudar para um sinal maior e deduzir as propriedades desta nova função. A única coisa a lembrar é ajustar a definição ao sinal pretendido. Em países de língua inglesa, a convenção que usa a inequalidade fraca (≤) em vez da inqualidade estricta (<) é quase sempre usada. | Note-se que na definição acima, o sinal "menor ou igual", '≤' poderia ser substituido por "menor" '<'. Isto produziria uma função diferente mas qualquer uma das funções pode ser facilmente deduzida a partir da outra. Também se poderia mudar para um sinal maior e deduzir as propriedades desta nova função. A única coisa a lembrar é ajustar a definição ao sinal pretendido. Em países de língua inglesa, a convenção que usa a inequalidade fraca (≤) em vez da inqualidade estricta (<) é quase sempre usada. | ||
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Quando há mais de uma variável aleatória e torna-se necessário explicitar a diferença entre as funções, representa-se a fda da [[variável aleatória]] ''X'' por <tex>\operatorname{F}_{X}(x) </tex>. | Quando há mais de uma variável aleatória e torna-se necessário explicitar a diferença entre as funções, representa-se a fda da [[variável aleatória]] ''X'' por <tex>\operatorname{F}_{X}(x) </tex>. | ||
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| − | Qualquer fda ''F'' é | + | Qualquer fda ''F'' é monótona crescente e contínua a partir da direita. Para além disso temos <tex>\lim_{x\to -\infty}F(x)=0</tex> e <tex>\lim_{x\to +\infty}F(x)=1</tex>. Qualquer função com estas 4 propriedades é uma fda. |
Se ''X'' é uma [[variável aleatória discreta]], então ela obtém os valores ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ... com probabilidade ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub> etc., e a fda de ''X'' será descontínua nos pontos ''x''<sub>''i''</sub> e constante entre eles. | Se ''X'' é uma [[variável aleatória discreta]], então ela obtém os valores ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ... com probabilidade ''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub> etc., e a fda de ''X'' será descontínua nos pontos ''x''<sub>''i''</sub> e constante entre eles. | ||
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| − | O [[teste Kolmogorov-Smirnov]] é baseado em funções distribuição acumulada e pode ser usado para ver se duas distribuições empíricas são diferentes ou se uma distribuição empírica é diferente de uma distribuição ideal. Muito relacionado é o [[teste de Kuiper]], o qual é útil se o domínio da distribuição é cíclico como por exemplo em dias da semana. Por exemplo podemos usar o teste de Kuiper para ver se o número de | + | |
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| + | O [[teste Kolmogorov-Smirnov]] é baseado em funções distribuição acumulada e pode ser usado para ver se duas distribuições empíricas são diferentes ou se uma distribuição empírica é diferente de uma distribuição ideal. Muito relacionado é o [[teste de Kuiper]], o qual é útil se o domínio da distribuição é cíclico como por exemplo em dias da semana. Por exemplo podemos usar o teste de Kuiper para ver se o número de tornados varia durante o ano ou se as vendas de um produto variam dia a dia ou por dia do mês. | ||
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Edição atual desde as 14h14min de 30 de outubro de 2008
Em teoria da probabilidade, a função distribuição acumulada (fda) descreve completamente a distribuição da probabilidade de uma variável aleatória de valor real X. Para cada número real x, a fda é dada por
onde o lado direito representa a probabilidade de que a variável X tome um valor inferior ou igual a x. A probabilidade de que X se situe num intervalo (a, b) é deste modo F(b) − F(a) se a ≤ b. É convenção usar um F maiúsculo para a fda, em contraste com o f minúsculo usado para a função densidade da probabilidade e funções massa da probabilidade.
Note-se que na definição acima, o sinal "menor ou igual", '≤' poderia ser substituido por "menor" '<'. Isto produziria uma função diferente mas qualquer uma das funções pode ser facilmente deduzida a partir da outra. Também se poderia mudar para um sinal maior e deduzir as propriedades desta nova função. A única coisa a lembrar é ajustar a definição ao sinal pretendido. Em países de língua inglesa, a convenção que usa a inequalidade fraca (≤) em vez da inqualidade estricta (<) é quase sempre usada.
Exemplos
Como exemplo, suponha-se que X é distribuido uniformemente pelo intervalo [0, 1]. Nesse caso a fda é dada por:
- F(x) = 0, se x < 0;
- F(x) = x, se 0 ≤ x ≤ 1;
- F(x) = 1, se x > 1.
Para um outro exemplo suponha-se que X toma apenas os valores 0 e 1, com igual probabilidade (X segue a distribuição de Bernoulli com p = 1/2). Então a fda é dada por
- F(x) = 0, se x < 0;
- F(x) = 1/2, se 0 ≤ x < 1;
- F(x) = 1, se x ≥ 1.
Notação
Quando há mais de uma variável aleatória e torna-se necessário explicitar a diferença entre as funções, representa-se a fda da variável aleatória X por .
Propriedades
Qualquer fda F é monótona crescente e contínua a partir da direita. Para além disso temos e
. Qualquer função com estas 4 propriedades é uma fda.
Se X é uma variável aleatória discreta, então ela obtém os valores x1, x2, ... com probabilidade p1, p2 etc., e a fda de X será descontínua nos pontos xi e constante entre eles.
Se a fda F de X é contínua, então X é uma variável aleatória contínua; se para além disso F absolutamente contínua, então existe uma função Integral Lebesgue f(x) tal que
para todos os números reais a e b. (A primeira das duas igualdades acima não seria correcta em geral se não tivessemos dito que a distribuição é contínua. Continuidade da distribuição implica que P(X = a) = P(X = b) = 0, de modo que a diferença entre "<" e "≤" deixa de ser importante neste contexto.) A função f é igual à derivada de F (quase em toda a parte), e é chamada de função densidade de probabilidade da distribuição de X.
O teste Kolmogorov-Smirnov é baseado em funções distribuição acumulada e pode ser usado para ver se duas distribuições empíricas são diferentes ou se uma distribuição empírica é diferente de uma distribuição ideal. Muito relacionado é o teste de Kuiper, o qual é útil se o domínio da distribuição é cíclico como por exemplo em dias da semana. Por exemplo podemos usar o teste de Kuiper para ver se o número de tornados varia durante o ano ou se as vendas de um produto variam dia a dia ou por dia do mês.
Ver também
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