Diferenças entre edições de "Gregos"

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*O '''[[Vega]]''', que não é uma letra Grega (<tex>\nu</tex>), mede a sensibilidade à [[volatilidade]]. O Vega é a derivada do valor da opção em relação à volatilidade do subjacente, <tex>\nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}</tex>. Por vezes usa-se o termo '''kappa''', <tex>\kappa</tex> em vez de '''Vega'''.
 
*O '''[[Vega]]''', que não é uma letra Grega (<tex>\nu</tex>), mede a sensibilidade à [[volatilidade]]. O Vega é a derivada do valor da opção em relação à volatilidade do subjacente, <tex>\nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}</tex>. Por vezes usa-se o termo '''kappa''', <tex>\kappa</tex> em vez de '''Vega'''.
  
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*O [['''Theta''']] mede a sensibilidade à passagem do tempo (ver [[Valor temporal]]). '''<tex>\Theta</tex>''' é o valor da derivada do valor da opção relativamente ao tempo em falta para a maturidade da opção, com sinal negativo, <tex>\Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}</tex>.
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*O '''[[Theta]]''' mede a sensibilidade à passagem do tempo (ver [[Valor temporal]]). '''<tex>\Theta</tex>''' é o valor da derivada do valor da opção relativamente ao tempo em falta para a maturidade da opção, com sinal negativo, <tex>\Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}</tex>.
  
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*O [['''Rho''']] mede a sensibilidade face a variações da [[taxa de juro]] aplicável. O '''<tex>\rho</tex>''' é a derivada do valor da opção relativa à [[taxa de juro sem risco]], <tex>\rho = \frac{\partial V}{\partial r}</tex>.
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*O '''[[Rho]]''' mede a sensibilidade face a variações da [[taxa de juro]] aplicável. O '''<tex>\rho</tex>''' é a derivada do valor da opção relativa à [[taxa de juro sem risco]], <tex>\rho = \frac{\partial V}{\partial r}</tex>.
  
 
*Menos frequentemente usados:
 
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**O [['''Lambda''']] '''<tex>\lambda</tex>''' é a variação percentual do valor da opção pela variação da cotação do subjacente, ou <tex>\lambda = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{1}{V}</tex>. É a derivada logarítmica.
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**O '''[[Lambda]]''' '''<tex>\lambda</tex>''' é a variação percentual do valor da opção pela variação da cotação do subjacente, ou <tex>\lambda = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{1}{V}</tex>. É a derivada logarítmica.
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**The '''vega gamma''' or '''volga''' measures second order sensitivity to [[implied volatility]]. This is the second derivative of the option value with respect to the volatility of the underlying, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}</tex>.
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**O '''Vega Gamma''' ou '''Volga''' mede a sensibilidade de segunda ordem à [[volatilidade implícita]]. Esta é a segunda derivada do valor da opção relativamente à volatilidade do subjacente, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}</tex>.
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**The '''vanna''' measures cross-sensitivity of the option value with respect to change in the underlying price and the volatility, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \sigma}</tex>, which can also be interpreted as the sensitivity of '''delta''' to a unit change in '''volatility'''.
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**O '''Vanna''' mede a sensibilidade cruzada do valor da opção relativamente a mudanças na cotação e na volatilidade, <tex>\frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \sigma}</tex>, também se pode interpretar como a sensibilidade do '''Delta''' a uma unidade de variação na '''volatilidade'''.
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**The '''delta decay''', or '''charm''', measures the time decay of delta, <tex>\frac{\partial \Delta}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial T}</tex>. This can be important when hedging a position over a weekend.
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**A '''Desvalorização temporal''' ("Time decay"), ou '''Charm''', mede a desvalorização temporal do Delta, <tex>\frac{\partial \Delta}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial T}</tex>. Isto pode ser importante para estabelecer um hedge ao longo do tempo.
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**The '''color''' measures the sensitivity of the '''charm''', or '''delta decay''' to the underlying asset price, <tex>\frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \partial T}</tex>. It is the third derivative of the option value, twice to underlying asset price and once to time.
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**A '''Cor''' ("Color") mede a sensibilidade do '''Charm''', ou '''Delta decay''' à cotação do activo subjacente, <tex>\frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \partial T}</tex>. E a terceira derivada do valor da opção, duas vezes relativamente à cotação do activo subjacente e uma em relação ao tempo.
  
 
==Black-Scholes==
 
==Black-Scholes==

Revisão das 18h18min de 2 de abril de 2008

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Em Finanças, os Gregos são as variáveis que representam a sensibilidade de Derivados (tais como opções) a variações do subjacente. Cada "Grego" mede um aspecto diferente do risco de uma opção, e corresponde a um parâmetro do qual depende o valor de um instrumento financeiro ou conjunto de instrumentos financeiros. O nome "Grego" é usado porque estes parâmetros são geralmente representados nas equações usando letras gregas.

Uso

Os Gregos são ferramentas essenciais na gestão de risco. Cada Grego (com a excepção do theta= representa uma medida específica de risco de uma opção ou portfolio de opções, e pode ser ajustado ("Hedged") de forma a se obter a exposição desejada. Ver por exemplo Delta hedging.

Uma propriedade desejável de um modelo de avaliação de derivados é assim que ele permita o cálculo fácil dos Gregos. Os Gregos no modelo Black-Scholes são bastante fáceis de calcular, e essa é uma das razões da popularidade desse modelo no mercado.

Os Gregos

  • O Delta mede a sensibilidade a variações da cotação do activo subjacente. O \Delta de um instrumento é a derivada do valor da opção V relativa à cotação do subjacente, \Delta = \frac{\partial V}{\partial S}.
  • O Gamma mede o ritmo de mudança do Delta. O \Gamma é a segunda derivada da função valor da opção relativamente à cotação do subjacente, \Gamma = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}. O Gamma é importante pois indica como reagirá o portfolio a mudanças relativamente grandes nas cotações do subjacente.
  • O Vega, que não é uma letra Grega (\nu), mede a sensibilidade à volatilidade. O Vega é a derivada do valor da opção em relação à volatilidade do subjacente, \nu=\frac{\partial V}{\partial \sigma}. Por vezes usa-se o termo kappa, \kappa em vez de Vega.
  • O Theta mede a sensibilidade à passagem do tempo (ver Valor temporal). \Theta é o valor da derivada do valor da opção relativamente ao tempo em falta para a maturidade da opção, com sinal negativo, \Theta = -\frac{\partial V}{\partial T}.
  • Menos frequentemente usados:
    • O Lambda \lambda é a variação percentual do valor da opção pela variação da cotação do subjacente, ou \lambda = \frac{\partial V}{\partial S}\times\frac{1}{V}. É a derivada logarítmica.
    • O Vega Gamma ou Volga mede a sensibilidade de segunda ordem à volatilidade implícita. Esta é a segunda derivada do valor da opção relativamente à volatilidade do subjacente, \frac{\partial^2 V}{\partial \sigma^2}.
    • O Vanna mede a sensibilidade cruzada do valor da opção relativamente a mudanças na cotação e na volatilidade, \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial \sigma}, também se pode interpretar como a sensibilidade do Delta a uma unidade de variação na volatilidade.
    • A Desvalorização temporal ("Time decay"), ou Charm, mede a desvalorização temporal do Delta, \frac{\partial \Delta}{\partial T} = \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial T}. Isto pode ser importante para estabelecer um hedge ao longo do tempo.
    • A Cor ("Color") mede a sensibilidade do Charm, ou Delta decay à cotação do activo subjacente, \frac{\partial^3 V}{\partial S^2 \partial T}. E a terceira derivada do valor da opção, duas vezes relativamente à cotação do activo subjacente e uma em relação ao tempo.

Black-Scholes

Os Gregos no modelo Black-Scholes são calculados da forma seguinte, com \phi (phi) a ser a função de densidade de uma distribuição normal e \Phi a ser a função cumulativa de uma distribuição normal. Note-se que as fórmulas para o Gamma e Vega são iguais tanto para Calls como puts.

Para:

Calls Puts
price e^{-q \tau} S\Phi(d_1) - e^{-r \tau} K\Phi(d_2) \, e^{-r \tau} K\Phi(-d_2) - e^{-q \tau} S\Phi(-d_1) \,
delta e^{-q \tau} \Phi(d_1) \, -e^{-q \tau} \Phi(-d_1) \,
gamma e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{S\sigma\sqrt{\tau}} \,
vega Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \,
theta -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} - rKe^{-r \tau}\Phi(d_2) + qSe^{-q \tau}\Phi(d_1) \, -e^{-q \tau} \frac{S \phi(d_1) \sigma}{2 \sqrt{\tau}} + rKe^{-r \tau}\Phi(-d_2) - qSe^{-q \tau}\Phi(-d_1) \,
rho K \tau e^{-r \tau}\Phi(d_2)\, -K \tau e^{-r \tau}\Phi(-d_2) \,
volga Se^{-q \tau} \phi(d_1) \sqrt{\tau} \frac{d_1 d_2}{\sigma} = \nu \frac{d_1 d_2}{\sigma} \,
vanna -e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{d_2}{\sigma} \, = \frac{\nu}{S}\left[1 - \frac{d_1}{\sigma\sqrt{\tau}} \right]\,
charm -qe^{-q \tau} \Phi(d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \, qe^{-q \tau} \Phi(-d_1) + e^{-q \tau} \phi(d_1) \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{2\tau \sigma \sqrt{\tau}} \,
color -e^{-q \tau} \frac{\phi(d_1)}{2S\tau \sigma \sqrt{\tau}} \left[2q\tau + 1 + \frac{2(r-q) \tau - d_2 \sigma \sqrt{\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}}d_1 \right] \,
dual delta -e^{-r \tau} \Phi(d_2) \, e^{-r \tau} \Phi(-d_2) \,
dual gamma e^{-r \tau} \frac{\phi(d_2)}{K\sigma\sqrt{\tau}} \,

Onde

d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}
d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - q - \sigma^2/2)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}} = d_1 - \sigma\sqrt{\tau}
\phi(x) = \frac{e^{- \frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}}
\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy = \int_{-x}^{\infty} \frac{e^{- \frac{y^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi}} \,dy

Ver também

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