exercicio para uma miuda de 10 anos na escola

[Thorn Gilts]

O cofre tem um codigo (N) de 5 algarismos.
P é o numero que se obtêm de N colocando à direita o algarismo 1
Q é o número qe se obtêm de N colocando à esquerda o algarismo 1
P é o triplo de Q

Qual o valor de N?

[Thorn Gilts]

Só para ser mais facil:

N tem 5 algarismo
P=NX tem 6 algarismos
Q=XN tem 6 algarismos
P=3*Q <=>P=3*XN
Q=P/3 <=>Q=3*XN/3

[D. Antunes]

O cofre tem um codigo (N) de 5 algarismos.
P é o numero que se obtêm de N colocando à direita o algarismo 1
Q é o número qe se obtêm de Q colocando à esquerda o algarismo 1
P é o triplo de Q

Qual o valor de N?

"Q é o número qe se obtêm de Q colocando à esquerda o algarismo 1"

Esta frase parece ter uma gralha.

Provavelmente querias dizer:  Q é o número qe se obtêm de "N" colocando à esquerda o algarismo 1.

N= 42857 (não é dos mais difícies mas é giro).

[Thorn Gilts]

N=15557

Mas também da 42857

[Thorn Gilts]

O cofre tem um codigo (N) de 5 algarismos.
P é o numero que se obtêm de N colocando à direita o algarismo 1
Q é o número qe se obtêm de Q colocando à esquerda o algarismo 1
P é o triplo de Q

Qual o valor de N?

"Q é o número qe se obtêm de Q colocando à esquerda o algarismo 1"

Esta frase parece ter uma gralha.

Provavelmente querias dizer:  Q é o número qe se obtêm de "N" colocando à esquerda o algarismo 1.

N= 42857 (não é dos mais difícies mas é giro).

Sim,,, queria dizer N

[Thorn Gilts]

N=15557

Mas também da 42857

P=155571
Q=115557
P=3*Q <=>P=3*15557<=>P=346671
N=1557

[Thorn Gilts]

O cofre tem um codigo (N) de 5 algarismos.
P é o numero que se obtêm de N colocando à direita o algarismo 1
Q é o número qe se obtêm de Q colocando à esquerda o algarismo 1
P é o triplo de Q

Qual o valor de N?

"Q é o número qe se obtêm de Q colocando à esquerda o algarismo 1"

Esta frase parece ter uma gralha.

Provavelmente querias dizer:  Q é o número qe se obtêm de "N" colocando à esquerda o algarismo 1.

N= 42857 (não é dos mais difícies mas é giro).

Como resolveste a tua?

[D. Antunes]

A tua solução não parece correta.

Como resolvi:

Se P é o triplo de Q e o último algarismo de P é 1, o último de Q tem que ser 7.
O último algarismo de Q é igual ao penúltimo de P =7.
Logo (como vão 2, porque 7x3 = 21) o penúltimo de Q múltiplicado por 3 tem que dar 5, é um cinco.
O penúltimo de Q é igual ao antepenúltimo de P = 5.
Logo (como vai 1) o antepenúltiplo de Q multiplicado por 3 tem que dar 4, é um oito
E assim sucessivamente.

[Zenith]

Embora uma míuda de 10 anos não seja suposta saber, a solução está relacionada com as propriedades do nº 7 e podem-se definer mais 5 problemas do mesmo tipo.

A expansão decimal de 1/7 é 0,142857  142857 .....
O período é 6 que é o máximo que se pode ter (dividindo um nº por 7 só podemos ter 6 restos distintos)
o que é interessante no nº 7 é que a expansão decimal de 2/7, 3/7,..., 6/7 é a mesma de 1/7 mas shiftada

1/7            142857
2/7            285714
3/7            428571
4/7            571428
5/7            714285
6/7            857142

Se virmos o para de fracções em que o 1º dígito do período de uma na expansão decimal é igual ao ultimo da outra vemos que são
(1/7 - 3/7) para o digito 1
(2/7 - 6/7) para o digito 2
(3/7 - 2/7) para o digito 3
(4/7 -5/7)  para o digito  5
(5/7 - 1/7) para o digito 7
(6/7 - 4/7) para o digito 8

se  olharmos para os numeradores eles estao realcionados por um factor de modulo 7. Poe exemplo 3x3=9 = (2 modulo 7) e 3X4=12 =(5 modulo 7)
logo temos os seguintes problemas

O cofre tem um codigo (N) de 5 algarismos.
P é o numero que se obtêm de N colocando à direita o algarismo 2
Q é o número qe se obtêm de N colocando à esquerda o algarismo 2
P é o triplo de Q
qual o valor de N?
 par 1/7 3/7 ==> 42857

 colocando à direita o algarismo 2
colocando à esquerda o algarismo 2
 par 2/7 6/ 7 ==> 85714

para fracçoes maiores que 2/7 ainda funciona mas como o triplo vai ter 6 digitos tem de se retirar o 7º digito e somá-lo ao 1º e formulação seria um pouco mais complicada.Por exemplo para 4
O cofre tem um codigo (N) de 5 algarismos.
P é o numero que se obtêm de N colocando à direita o algarismo 4
Q é o número que se ontém colocando à esquerda o algarismo 4
X é o 7º algarismo àesquerda do triplo de P
P+x*10^6-X é o triplo de Q
qual o valor de N?

colocando à direita o algarismo 4
colocando à esquerda o algarismo 2
 par 3/7 2/ 7 ==> 28571. P é 285714, Q é 428571 triplo de Q é 1285713= =285714+1*10^6-1

Pode-se ainda definir problemas do mesmo género sem que os que se colocam á esquerda e direita sejam iguais.

[Thorn Gilts]

Eu enganei-me - fiz a correr e esqueci de considerar o P=3*Q... e, mais, isto foi o teste de uma miuda.

[D. Antunes]

Quando poder envio a prova de hoje das olimpíadas da matemática para o 10 a 12º anos.

O meu rapaz enviou-me photo para o iPhone.
Como de costume, a geometria é que é difícil.

[Thorn Gilts]

Quando poder envio a prova de hoje das olimpíadas da matemática para o 10 a 12º anos.

O meu rapaz enviou-me photo para o iPhone.
Como de costume, a geometria é que é difícil.

isto foi das olimpiadas de matematica e sinceramente não acho facil... ate porque eu tente resolver de outra forma, com outro tipo de raciocionio (equacoes de segundo grau com duas variaveis) e por isso fiz asneira... Claro que um puto que esteja a estudar as propriedades do sete, chegava eventualmente la.

[D. Antunes]

Os miúdos não estudam essas propriedades do sete. Isso é para matemáticos. Obrigado Zenith pela divulgação.
Isto resolve-se a pensar.