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Teoria dos erros

Da Thinkfn

Na análise numérica, a teoria dos erros, diz que um problema está resolvido se, conjuntamente com a solução calculada, for apresentado o erro com que esta representa a solução encontrada.

Índice

Tipos de erro

  • Erros nos dados experimentais e nos valores dos parâmetros:
    • Sistemáticos - Erros que actuam sempre no mesmo sentido e podem ser eliminados mediante selecção da aparelhagem e do método e condições de experimentação.
    • Fortuitos - Erros com origem em causas indeterminadas que actuam em ambos os sentidos, de forma não previsível. Estes erros podem ser atenuados, mas não completamente eliminados.
  • Erros de truncamento - Resultam do uso de fórmulas aproximadas, ou seja, um truncamento da realidade. Por exemplo, quando se tomam apenas alguns dos termos do desenvolvimento em série de uma função.
  • Erros de arredondamento - Resultam da representação de números reais com um número finito de algarismos significativos.

Erro absoluto e erro relativo

Todos os tipos de erro acima podem ser expressos como "erro absoluto" ou como "erro relativo". Também, pode ser tratados pela Análise Numérica ou pela Estatística.

Seja X um número com valor exacto e x um valor aproximado de X. A diferença entre o valor exato e o valor aproximado é o erro de X


Ao módulo deste valor, chama-se de Erro absoluto de X

Logo,


Como geralmente não temos acesso ao valor exato X, o erro absoluto não tem na maior parte dos casos utilidade prática. Assim, temos que determinar um majorante de \Delta. Este valor designa-se de \bar{\Delta}. Satisfaz a condição:


O mínimo do conjunto dos majorantes \bar{\Delta} de \Delta, chama-se "erro máximo absoluto" em que x representa X.

Em face das regras de arredondamento consideradas, um número com m casas decimais deve supor-se afectado de um erro máximo absoluto de:


Geralmente, mais útil do que o erro máximo absoluto é a relação entre este e a grandeza que está afectada pelo erro.


Ao quociente entre o "erro absoluto" e o módulo do valor exacto, chama-se Erro relativo de X.

\delta = \frac{\Delta}{|X|}

No entanto, na prática não temos acesso ao erro relativo e temos que usar o majorante deste.

Se \Delta muito menor que X então,

\delta = \frac{\Delta}{|X|}\le \frac{\bar{\Delta}}{|x|}

Primeiro problema fundamental da teoria dos erros

Estando os dados de um problema afetados de erro, calcula-se um majorante do erro em que a solução calculada representa a solução exata.

1. Erro na avaliação de funções de uma variável

\Delta x \le |f'(x)|\Delta \bar{x}

2. Erro na avaliação de funções com mais de uma variável

\Delta x \le \sum_{k=1}^N |\frac{\delta f}{\delta x_i}|\bar{\Delta x_i^0}

que é a Fórmula Fundamental da Teoria dos Erros

Problema inverso da teoria dos erros

O problema inverso da teoria dos erros consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0 de x_1, x_2, x_3, ..., x_n para que f(x_1^0, x_2^0, x_3^0,... x_n^0) seja um valor aproximado de f(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) com erro máximo absoluto inferior a um valor \epsilon pré-estabelecido.

Por simplicidade escolhe-se entre:

  1. Princípio das influências iguais
  2. Princípio dos erros iguais
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